【Édition du Peuple】Mathématiques du collège, 7e année, deuxième semestre : Passer de la ligne au plan : Comprendre les couples ordonnés

Imaginez que vous cherchez un siège dans une salle de cinéma. Si vous n'aviez qu'une seule rangée (dimension un), il vous suffirait d'un seul chiffre ; mais en réalité, les salles de cinéma ont plusieurs rangées et plusieurs places (deux dimensions), vous devez donc disposer à la fois du numéro de rangée et du numéro de place. Si vous obtenez « rangée 3, place 5 » et vous vous asseyez à « rangée 5, place 3 », c'est clairement une erreur — c'est exactement ce que signifie « ordonné » dans les mathématiques et dans la vie réelle.

I. L'évolution logique de la dimension un à la dimension deux

Un point sur une droite numérique peut être localisé avec un seul nombre réel, tandis qu’un point dans un plan existe dans deux dimensions perpendiculaires. Après avoir établi un système de coordonnées cartésiennes, pour tout point $M$ dans le plan des coordonnées, il existe une unique paire ordonnée de nombres réels $(x, y)$ qui lui correspond ; inversement, pour toute paire ordonnée de nombres réels $(x, y)$, il existe un unique point $M$ dans le plan des coordonnées qui lui correspond. Cecorrespondance biunivoqueest la pierre angulaire de la pensée combinant nombres et figures.

Définition fondamentale

couple ordonné: un couple formé de deux nombres $a$ et $b$ ayant une certaine séquence s'appelle un couple ordonné, noté $(a, b)$.

Remarque importante

« Ordre » signifie que $(x, y) \neq (y, x)$ (sauf si $x = y$). L'ordre détermine la direction représentée par les nombres (déplacement horizontal ou vertical).

II. Correspondance biunivoque bidirectionnelle

Cette correspondance garantit que les « nombres » peuvent décrire précisément la position des « formes », et que les « formes » reflètent visuellement les caractéristiques des « nombres », permettant ainsi de traiter algébriquement les figures géométriques dans le plan. Nous résumons cette relation comme suit :

Utiliser les nombres pour résoudre les figures: Calculer l'aire, le périmètre d'une figure ou déterminer une relation de position à l'aide des coordonnées.
Utiliser les figures pour aider aux nombres: Comprendre intuitivement les propriétés d'une fonction ou les solutions d'une équation en observant son image.

🎯 Règle fondamentale

Le point $P$ dans le plan \longleftrightarrow le couple ordonné $(x, y)$.

坐标 $(x, y)$ 中，$x$ 是横坐标，$y$ 是纵坐标。

QUESTION 1

Qu'est-ce que le chiffre $5$ représente dans le couple ordonné $(5, 2)$ ?

La distance du point à l'axe des $x$

L'abscisse (x)

L'ordonnée (y)

La distance du point à l'origine

QUESTION 2

Si les sièges d'un cinéma sont représentés par un couple ordonné $(a, b)$, où $a$ indique le numéro de rangée et $b$ le numéro de place, alors $(3, 6)$ signifie :

Rangée 6, place 3

Rangée 3, place 6

Entre la rangée 3 et la rangée 6

Un total de 9 places

QUESTION 3

La condition nécessaire et suffisante pour que les couples ordonnés $(m, n)$ et $(n, m)$ soient égaux est :

$m = 0$

$n = 0$

$m = n$

$m = -n$

QUESTION 4

Le point $P$ est sur l'axe des $x$ et distant de 4 unités de l'origine. Alors l'ordonnée de $P$ est :

$4$

$-4$

$0$

Impossible à déterminer

QUESTION 5

Le couple ordonné de l'origine $O$ est représenté par :

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(0, 1)$

$(1, 0)$

QUESTION 6

Dans un plan, combien de nombres réels sont nécessaires pour déterminer la position d'un point ?

Une infinité

QUESTION 7

Étant donné le point $A(2, 3)$, si on échange les coordonnées horizontales et verticales, on obtient le point $B$. Alors les coordonnées de $B$ sont :

$(2, 3)$

$(3, 2)$

$(-2, -3)$

$(3, -2)$

QUESTION 8

Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

$(2, 3)$ et $(3, 2)$ représentent le même point

Les couples ordonnés ne peuvent représenter que des entiers

Les points dans le plan des coordonnées et les couples de nombres réels ordonnés sont en correspondance biunivoque

Il suffit d'un seul nombre pour déterminer la position d'un point

QUESTION 9

Si le couple ordonné $(x-1, 5)$ représente un point situé sur l'axe des $y$, alors la valeur de $x$ est :

$0$

$1$

$5$

$-1$

QUESTION 10

[Réponse courte] Tracez les points suivants dans le même repère cartésien, puis reliez-les successivement par des segments. (1) $(2, 0), (4, 0), (2, 2), (2, 0)$ ; (2) $(0, 2), (0, 4), (-2, 2), (0, 2)$. Que remarquez-vous ?

Formez deux triangles de même forme mais de positions différentes

Formez deux carrés

Formez deux lignes droites

Impossible de former une figure